Toán 12 Ôn tập chương I: Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

hàm số

Sau đây là phần lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương I: Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số chúng ta cùng nhau tìm hiểu:

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).h

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Quy tắc

  • Tìm tập xác định.Tính f′(x).
  • Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
  • Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

II. Cực trị của hàm số

Quy tắc I

  • Tìm tập xác định.Tính f′(x).
  • Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.

Quy tắc II

  • Tìm tập xác định.Tính f′(x).
  • Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi(i=0,1,2,…) là các nghiệm của nó.
  • Tính f′′(x) và f′′(xi).
  • Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm  x

III. Cách tìm GTLN ( max ) và GTNN ( min ) của hàm số trên một đoạn

Quy tắc

  • Tìm các điểm x1,x2,..,xn trên khoảng (a;b), tại đó  f′(x)=0 hoặc không xác định.
  • Tính f(a),f(x1),f(x2),..,f(xn),f(b).
  • Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

IV. Đường tiệm cận

1. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (−∞;+∞).

Nếu limx→±∞=y0=>y=y0 là đường tiệm cận ngang .

2. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y=f(x) , nếu thỏa mãn một trong số các điều kiện 

=> x=x0 là tiệm cận đứng của hàm số y=f(x).

V. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Sơ đồ khảo sát đồ thị

có 3 bước:

  • Bước 1: Tập xác định.
  • Bước 2: Sự biến thiên.
  • Bước 3: Đồ thị.

VI. Bài tập và cách giải

Câu 1:Trang 45 – sgk giải tích 12

Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

y=−x3+2×2−x−7

y=x−51−x

Bài làm:

Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K, hàm số f(x):

  • Đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1,x2∈K:x1<x2=>f(x1)<f(x2).
  • Nghịch biến (giảm) trên K nếu  ∀x1,x2∈K:x1<x2=>f(x1)>f(x2).

Xét hàm số y=−x3+2×2−x−7

Ta có:  y′=−3×2+4x−1

=> y′=0=>x=1;x=13

=> y′>0 với x∈(13;1)vày’ <0vớix ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)$.

Vậy hàm số đồng biến trên (1/3;1) và nghịch biến trên (−∞;1/3)∪(1;+∞).

Câu 2:Trang 45 – sgk giải tích 12

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm.

Tìm các cực trị của hàm số: y=x4−2×2+2

Bài làm:

Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc I

  • Tìm tập xác định.Tính f′(x).
  • Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.

Quy tắc II

  • Tìm tập xác định.Tính f′(x).
  • Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi(i=0,1,2,…) là các nghiệm của nó.
  • Tính f′′(x) và f′′(xi).
  • Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm  xi.

Xét hàm số y=x4−2×2+2, ta có:

y′=4×3−4x=4x(x2−1)

=>  y′=0<=>4x(x2−1)=0=>x=0;x=±1

=>  y”=12×2−4

Áp dụng Quy tắc II, ta có:

  • y”(0)=−4<0=>x=0 là điểm cực đại.
  • y”(−1)=y”(1)=8>0=>x=±1 là hai điểm cực tiểu.

Vậy x=0 là điểm cực đại của hàm số đã cho.

        x=±1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Câu 4: Trang 45 – sgk giải tích 12

Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Bài làm:

Sơ đồ khảo sát hàm số: 3 bước

1. Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

  • Xét chiều biến thiên:

    + Tính đạo hàm y’.

    + Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định.

    + Xét dấu của đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

  • Tìm cực trị.
  • Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
  • Lập bảng biến thiên.

3. Vẽ đồ thị của hàm số

  • Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

trên đây Tradapan.net đã tổng hợp được nội dung Toán 12 Ôn tập chương I: Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Chúc các bạn học tập tốt môn Toán và thành công.

Tài liệu hay tại đây:

TÀI LIỆU

#tradapan


Warning: A non-numeric value encountered in /home/otcwszhx/public_html/wp-content/themes/Newspaper/includes/wp_booster/td_block.php on line 353