Sau đây là phần lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương I: Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số chúng ta cùng nhau tìm hiểu:
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).h
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
Quy tắc
- Tìm tập xác định.Tính f′(x).
- Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
- Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
II. Cực trị của hàm số
Quy tắc I
- Tìm tập xác định.Tính f′(x).
- Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.
Quy tắc II
- Tìm tập xác định.Tính f′(x).
- Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi(i=0,1,2,…) là các nghiệm của nó.
- Tính f′′(x) và f′′(xi).
- Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm x
III. Cách tìm GTLN ( max ) và GTNN ( min ) của hàm số trên một đoạn
Quy tắc
- Tìm các điểm x1,x2,..,xn trên khoảng (a;b), tại đó f′(x)=0 hoặc không xác định.
- Tính f(a),f(x1),f(x2),..,f(xn),f(b).
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
IV. Đường tiệm cận
1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số y=f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (−∞;+∞).
Nếu limx→±∞=y0=>y=y0 là đường tiệm cận ngang .
2. Đường tiệm cận đứng
Cho hàm số y=f(x) , nếu thỏa mãn một trong số các điều kiện
=> x=x0 là tiệm cận đứng của hàm số y=f(x).
V. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Sơ đồ khảo sát đồ thị
có 3 bước:
- Bước 1: Tập xác định.
- Bước 2: Sự biến thiên.
- Bước 3: Đồ thị.
VI. Bài tập và cách giải
Câu 1:Trang 45 – sgk giải tích 12
Phát biểu các điều kiện đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
y=−x3+2×2−x−7
y=x−51−x
Bài làm:
Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K, hàm số f(x):
- Đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1,x2∈K:x1<x2=>f(x1)<f(x2).
- Nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1,x2∈K:x1<x2=>f(x1)>f(x2).
Xét hàm số y=−x3+2×2−x−7
Ta có: y′=−3×2+4x−1
=> y′=0=>x=1;x=13
=> y′>0 với x∈(13;1)vày’ <0vớix ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1; +∞)$.
Vậy hàm số đồng biến trên (1/3;1) và nghịch biến trên (−∞;1/3)∪(1;+∞).
Câu 2:Trang 45 – sgk giải tích 12
Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm.
Tìm các cực trị của hàm số: y=x4−2×2+2
Bài làm:
Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:
Quy tắc I
- Tìm tập xác định.Tính f′(x).
- Tìm các điểm tại đó để f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị ( cực đại và cực tiểu ) của hàm số.
Quy tắc II
- Tìm tập xác định.Tính f′(x).
- Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi(i=0,1,2,…) là các nghiệm của nó.
- Tính f′′(x) và f′′(xi).
- Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Xét hàm số y=x4−2×2+2, ta có:
y′=4×3−4x=4x(x2−1)
=> y′=0<=>4x(x2−1)=0=>x=0;x=±1
=> y”=12×2−4
Áp dụng Quy tắc II, ta có:
- y”(0)=−4<0=>x=0 là điểm cực đại.
- y”(−1)=y”(1)=8>0=>x=±1 là hai điểm cực tiểu.
Vậy x=0 là điểm cực đại của hàm số đã cho.
x=±1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Câu 4: Trang 45 – sgk giải tích 12
Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Bài làm:
Sơ đồ khảo sát hàm số: 3 bước
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên:
+ Tính đạo hàm y’.
+ Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Xét dấu của đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
- Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
trên đây Tradapan.net đã tổng hợp được nội dung Toán 12 Ôn tập chương I: Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Chúc các bạn học tập tốt môn Toán và thành công.
Tài liệu hay tại đây:
TÀI LIỆU#tradapan