Đề kiểm tra giữa kì 2 toán 11 đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

A. TRẮC NGHIỆM (4 điểm)

Câu 1. Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} = 2) và công bội (q =  – 3). Giá trị của ({u_3}) bằng:

A. (27)           B. ( – 27)        C. ( – 9)         D. (18)

Câu 2. Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_1} =  – 5) và công sai (d = 3). Tổng của 50 số hạng đầu tiên là:

A. (2345)       B. (6850)       C. (3425)       D. (3500)

Câu 3. Cho cấp số nhân (left( {{v_n}} right)) thỏa mãn (left{ begin{array}{l}{v_2} = 2\{v_5} = 16end{array} right.). Khi đó ta có:

A. ({v_1} =  – 2)       B. ({v_4} = dfrac{1}{2})   C. ({v_6} = 64)        D. ({v_7} = 64)

Câu 4. Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với (left{ begin{array}{l}{u_1} = dfrac{1}{2}\{u_n} = dfrac{1}{{2 – {u_{n – 1}}}},,,forall n > 1end{array} right.). Giá trị của ({u_4}) bằng:

A. (dfrac{3}{4})     B. (dfrac{4}{5})     C. (dfrac{5}{6})     D. (dfrac{5}{4})

Câu 5. Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) thỏa mãn ({u_n} = dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}},,,forall n ge 1). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. (left( {{u_n}} right)) là dãy số bị chặn dưới

B. ({u_5} = dfrac{{11}}{6})

C. (left( {{u_n}} right)) là dãy giảm

D. (left( {{u_n}} right)) là dãy tăng và bị chặn

Câu 6. Với số thực (a) cho trước, giá trị của (lim dfrac{{a.n + 2}}{{2n + 1}}) là:

A. (a)             B. (2a)           C. (dfrac{a}{2})     D. (1)

Câu 7. Giá trị của (lim left( {sqrt {{n^2} – 2n – 2}  – n} right)) là:

A. ( – 1)         B. ( – dfrac{2}{3}) C. ( – infty ) D. ( + infty )

Câu 8. Giá trị của (lim dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n – 1}} – {5^n}}}) là:

A. (0)             B. ( + infty )             C. (6)             D. (dfrac{1}{6})

Câu 9. Cho tứ diện (ABCD) có (M) là trung điểm (AB,,,N) là trung điểm (AC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba vectơ (overrightarrow {AB} ,,,overrightarrow {AC} ,,,overrightarrow {AD} ) đồng phẳng

B. Ba vectơ (overrightarrow {BA} ,,,overrightarrow {CB} ,,,overrightarrow {BD} ) đồng phẳng

C. Ba vectơ (overrightarrow {BD} ,,,overrightarrow {CD} ,,,overrightarrow {MN} ) đồng phẳng

D. Ba vectơ (overrightarrow {AD} ,,,overrightarrow {CD} ,,,overrightarrow {MN} ) đồng phẳng

Câu 10. Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông tâm (O). Biết rằng (SA = SB = SC = SD). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. (AB//left( {SCD} right))           B. (AC bot left( {SBD} right))

C. (SO bot left( {ABCD} right)) D. (AD bot left( {SAB} right))

Câu 11. Cho hình chóp (S.ABC) có đáy (ABC) là tam giác đều cạnh (a). Đường thẳng (SA) vuông góc với mặt phẳng (left( {ABC} right)), (SA = a). Khi đó góc giữa đường thẳng (SB) và mặt phẳng (left( {ABC} right)) có số đo là:

A. ({30^0})   B. ({45^0})

C. ({135^0})             D. ({60^0})

Câu 12. Cho hình chóp (S.ABC). Đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại (B,,,AC = 2a). Đường thẳng (SA) vuông góc với mặt phẳng (left( {ABC} right)), (SA = a). Khi đó, cosin của góc tạo bởi (SC) và mặt phẳng (left( {SAB} right)) có giá trị là:

A. (dfrac{{sqrt {15} }}{5})          B. (sqrt {dfrac{2}{5}} )

C. (sqrt {dfrac{2}{3}} )    D. (dfrac{1}{{sqrt 3 }})

B – TỰ LUẬN (6 điểm)

Bài 1 (3 điểm):

a) Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) với công sai (d). Biết rằng (left{ begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d – 2\u_2^2 + u_4^2 = 20end{array} right.). Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

b) Tính giới hạn (lim left( {2n – sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} right)).

Bài 2 (3 điểm)

Cho hình chóp tứ giác (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thang vuông tại (A) và (B). Biết (AB = BC = a) và (AD = 2a). Đường thẳng (SA) vuông góc với mặt phẳng (left( {ABCD} right)), (SA = a). Kẻ (AH bot SB) và (AK bot SC) (left( {H in SB,,,K in SC} right)).

a) Chứng minh (AH bot left( {SBC} right)).

b) Chứng minh (SC bot HK) và (DC bot left( {SAC} right)).

c) Tính góc giữa hai đường thẳng (HK) và (CD).

Lời giải chi tiết

 

1. D

 

 

2. C

 

 

3. D

 

 

4. B

 

 

5. C

 

 

6. C

 

 

7. A

 

 

8. C

 

 

9. C

 

 

10. C

 

 

11. B

 

 

12. C

 

Câu 1 (NB) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu ({u_1}), công bội (q) là ({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}).

Cách giải:

Ta có: ({u_3} = {u_1}.{q^2} = 2.{left( { – 3} right)^2} = 18).

Chọn D.

Câu 2 (NB) – Cấp số cộng

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng (n) số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu ({u_1}), công sai (d) là ({S_n} = dfrac{{left[ {2{u_1} + left( {n – 1} right)d} right]n}}{2}).

Cách giải:

Ta có: ({S_{50}} = dfrac{{left[ {2.left( { – 5} right) + left( {50 – 1} right).3} right].50}}{2} = 3425).

Chọn C.

Câu 3 (TH) – Cấp số nhân

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số nhân có số hạng đầu ({u_1}), công bội (q) là ({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}).

Cách giải:

Gọi số hạng đầu là ({v_1}) và công bội là (q), ta có: (left{ begin{array}{l}{v_2} = 2\{v_5} = 16end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{v_1}q = 2\{v_1}{q^4} = 16end{array} right.).

Chia vế theo vế 2 phương trình trên ta có ({q^3} = 8 Leftrightarrow q = 2).

( Rightarrow 2{v_1} = 2 Leftrightarrow {v_1} = 1).

Khi đó ta có (left{ begin{array}{l}{v_4} = {v_1}{q^3} = {1.2^3} = 8\{v_6} = {v_1}{q^5} = {1.2^5} = 32\{v_7} = {v_1}{q^6} = {1.2^6} = 64end{array} right.).

Vậy đáp án đúng là D.

Chọn D.

Câu 4 (NB) – Dãy số

Phương pháp:

Tính lần lượt ({u_2},,,{u_3},,,{u_4}) nhờ công thức truy hồi của dãy số.

Cách giải:

Ta có:

(begin{array}{l}{u_2} = dfrac{1}{{2 – {u_1}}} = dfrac{1}{{2 – dfrac{1}{2}}} = dfrac{2}{3}\{u_3} = dfrac{1}{{2 – {u_2}}} = dfrac{1}{{2 – dfrac{2}{3}}} = dfrac{3}{4}\{u_4} = dfrac{1}{{2 – {u_3}}} = dfrac{2}{{2 – dfrac{3}{4}}} = dfrac{4}{5}end{array})

Chọn B.

Câu 5 (TH) – Dãy số

Phương pháp:

Xét hiệu (H = {u_{n + 1}} – {u_n}).

+ Nếu (H > 0,,forall n ge 1) thì dãy (left( {{u_n}} right)) là dãy số tăng.

+ Nếu (H < 0,,forall n ge 1) thì dãy (left( {{u_n}} right)) là dãy số giảm.

Cách giải:

Xét hiệu

(begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} – {u_n},,,forall n ge 1\,,,,,, = dfrac{{2left( {n + 1} right) + 1}}{{n + 1 + 1}} – dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\,,,,,, = dfrac{{2n + 3}}{{n + 2}} – dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\,,,,,, = dfrac{{left( {2n + 3} right)left( {n + 1} right) – left( {2n + 1} right)left( {n + 2} right)}}{{left( {n + 2} right)left( {n + 1} right)}}\,,,,,, = dfrac{{2{n^2} + 5n + 3 – 2{n^2} – 5n – 2}}{{left( {n + 2} right)left( {n + 1} right)}}\,,,,,, = dfrac{1}{{left( {n + 2} right)left( {n + 1} right)}} > 0,,forall n ge 1end{array})

Do đó dãy số (left( {{u_n}} right)) là dãy số tăng.

Vậy đáp án sai là C.

Chọn C.

Câu 6 (NB) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho (n).

Cách giải:

Ta có: (lim dfrac{{a.n + 2}}{{2n + 1}} = lim dfrac{{a + dfrac{2}{n}}}{{2 + dfrac{1}{n}}} = dfrac{a}{2}).

Chọn C.

Câu 7 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

– Nhân liên hợp.

– Chia cả tử và mẫu cho (n).

Cách giải:

Ta có:

(begin{array}{l},,,,,lim left( {sqrt {{n^2} – 2n – 2}  – n} right)\ = lim dfrac{{{n^2} – 2n – 2 – {n^2}}}{{sqrt {{n^2} – 2n – 2}  + n}}\ = lim dfrac{{ – 2n – 2}}{{sqrt {{n^2} – 2n – 2}  + n}}\ = lim dfrac{{ – 2 – dfrac{2}{n}}}{{sqrt {1 – dfrac{2}{n} – dfrac{2}{{{n^2}}}}  + 1}} =  – 1end{array}).

Chọn A.

Câu 8 (TH) – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu cho ({6^n}).

Cách giải:

Ta có:  (lim dfrac{{{4^n} + {6^n}}}{{{6^{n – 1}} – {5^n}}} = lim dfrac{{{{left( {dfrac{2}{3}} right)}^n} + 1}}{{dfrac{1}{6} – {{left( {dfrac{5}{6}} right)}^n}}} = 6).

Chọn C.

Câu 9 (TH) – Vectơ trong không gian

Phương pháp:

– Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

– Sử dụng định lí: Trong không gian cho hai vectơ (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ) không cùng phương và vectơ (overrightarrow c ). Khi đó ba vectơ (overrightarrow a ,,,overrightarrow b ,,,overrightarrow c ) đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m,,,n) sao cho (overrightarrow c  = moverrightarrow a  + noverrightarrow b ). Cặp số (m,,,n) là duy nhất.

Cách giải:

 

Ta có: (MN) là đường trung bình của (Delta ABC) nên (overrightarrow {MN}  = dfrac{1}{2}overrightarrow {BC}  = dfrac{1}{2}left( {overrightarrow {BD}  – overrightarrow {CD} } right)).

Do đó ba vectơ (overrightarrow {BD} ,,,overrightarrow {CD} ,,,overrightarrow {MN} ) đồng phẳng.

Chọn C.

Câu 10 (NB) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

Sử dụng định lí (left{ begin{array}{l}d bot a\d bot b\a cap b subset left( P right)end{array} right. Rightarrow d bot left( P right)).

Cách giải:

 

Vì (SA = SC Rightarrow Delta SAC) cân tại (S Rightarrow SO bot AC).

Vì (SB = SD Rightarrow Delta SBD) cân tại (S Rightarrow SO bot BD).

( Rightarrow SO bot left( {ABCD} right)).

Chọn C.

Câu 11 (TH) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

– Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

– Sử dụng tỉ số lượng giác để tính góc.

Cách giải:

 

Ta có: (SA bot left( {ABC} right) Rightarrow AB) là hình chiếu của (SB) lên (left( {ABC} right)).

( Rightarrow angle left( {SB;left( {ABC} right)} right) = angle left( {SB;AB} right) = angle SBA).

Xét tam giác vuông (SAB) ta có: (SA = AB = a Rightarrow Delta SAB) vuông cân tại (A).

Vậy (angle left( {SB;left( {ABC} right)} right) = angle SBA = {45^0}).

Chọn B.

Câu 12 (VD) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

– Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

– Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Cách giải:

 

Ta có: (left{ begin{array}{l}BC bot AB,,left( {gt} right)\BC bot SA,,left( {SA bot left( {ABC} right)} right)end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right)).

( Rightarrow SB) là hình chiếu vuông góc của (SC) lên (left( {SAB} right)).

( Rightarrow angle left( {SC;left( {SAB} right)} right) = angle left( {SC;SB} right) = angle BSC).

Vì (BC bot left( {SAB} right),,left( {cmt} right) Rightarrow BC bot SB) ( Rightarrow Delta SBC) vuông tại (B).

Tam giác (ABC) vuông cân tại (B) ( Rightarrow AB = BC = dfrac{{AC}}{{sqrt 2 }} = dfrac{{2a}}{{sqrt 2 }} = asqrt 2 ).

Xét tam giác vuông (SAB) có: (SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = asqrt 3 ).

Xét tam giác vuông (SBC) có: (tan angle BSC = dfrac{{BC}}{{SB}} = dfrac{{asqrt 2 }}{{asqrt 3 }} = sqrt {dfrac{2}{3}} ).

Chọn C.

B – TỰ LUẬN (6 điểm)

Bài 1 (VD) – Cấp số cộng – Giới hạn của dãy số

Phương pháp:

a) Sử dụng công thức số hạng tổng quát ({u_n} = {u_1} + left( {n – 1} right)d) và tính chất cấp số cộng ({u_{n – 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}). Đưa hệ phương trình đã cho về hệ 2 ẩn ({u_4},,,d). Giải hệ tìm ({u_4},,,d). Sau đó tìm ({u_1} = {u_4} – 3d).

b) Nhân liên hợp, sử dụng hằng đẳng thức ({a^3} – {b^3} = left( {a – b} right)left( {{a^2} + ab + {b^2}} right)). Sau đó chia cả tử và mẫu cho (n) với số mũ cao nhất.

Cách giải:

a) Theo bài ra ta có:

(begin{array}{l},,,,,left{ begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d – 2\u_2^2 + u_4^2 = 20end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2{u_4} = 2d – 2\u_2^2 + u_4^2 = 20end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_4} = d – 1\{left( {{u_4} – 2d} right)^2} + u_4^2 = 20end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_4} = d – 1\{left( {d – 1 – 2d} right)^2} + {left( {d – 1} right)^2} = 20end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_4} = d – 1\{d^2} + 2d + 1 + {d^2} – 2d + 1 = 20end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_4} = d – 1\2{d^2} = 18end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{u_4} = d – 1\d =  pm 3end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{u_4} = 2\d = 3end{array} right.\left{ begin{array}{l}{u_4} =  – 4\d =  – 3end{array} right.end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{u_1} = {u_4} – 3d =  – 7\d = 3end{array} right.\left{ begin{array}{l}{u_1} = {u_4} – 3d = 5\d =  – 3end{array} right.end{array} right.end{array})

Vậy ({u_1} =  – 7;,,d = 3) hoặc ({u_1} = 5;,,d =  – 3).

b) Ta có:

(begin{array}{l},,,,lim left( {2n – sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} right)\ = lim dfrac{{8{n^3} – 8{n^3} – 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2nsqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{left( {sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} right)}^2}}}\ = lim dfrac{{ – 5{n^2}}}{{4{n^2} + 2nsqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}} + {{left( {sqrt[3]{{8{n^3} + 5{n^2}}}} right)}^2}}}\ = lim dfrac{{ – 5}}{{4 + 2sqrt[3]{{8 + dfrac{5}{n}}} + {{left( {sqrt[3]{{8 + dfrac{5}{n}}}} right)}^2}}}\ = dfrac{{ – 5}}{{4 + 2.2 + {2^2}}} = dfrac{{ – 5}}{{12}}end{array})

Bài 2 (VDC) – Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp:

a) Sử dụng định lí: (left{ begin{array}{l}d bot a\d bot b\a cap b subset left( P right)end{array} right. Rightarrow d bot left( P right)).

b) Sử dụng định lí: (left{ begin{array}{l}d bot left( P right)\a subset left( P right)end{array} right. Rightarrow d bot a) để chứng minh (SC bot HK).

Gọi (E) là trung điểm của (AD), chứng minh (DC bot AC), từ đó chứng minh (DC bot left( {SAC} right)).

c) Trong (left( {SCD} right)) kẻ (KI//CD,,left( {I in SD} right)), khi đó ta có (angle left( {HK;CD} right) = angle left( {HK;KI} right)).

Tính (angle HKI = angle AKH + angle AKI). Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông và tính chất 2 đường thẳng vuông góc để tính góc.

Cách giải:

 

a) Ta có: (left{ begin{array}{l}BC bot AB,,left( {gt} right)\BC bot SA,,left( {SA bot left( {ABCD} right)} right)end{array} right.) ( Rightarrow BC bot left( {SAB} right) Rightarrow BC bot AH)

(left{ begin{array}{l}AH bot SB,,left( {gt} right)\AH bot BC,,left( {cmt} right)end{array} right. Rightarrow AH bot left( {SBC} right)).

b) Vì (AH bot left( {SBC} right),,left( {cmt} right) Rightarrow AH bot SC).

Ta có: (left{ begin{array}{l}AH bot SC,,left( {cmt} right)\AK bot SC,,left( {gt} right)end{array} right.) ( Rightarrow SC bot left( {AHK} right) Rightarrow SC bot HK).

Gọi (E) là trung điểm của (AD), khi đó (ABCE) là hình vuông cạnh (a).

( Rightarrow CE = a = dfrac{1}{2}AD Rightarrow Delta ACD) vuông tại (C) ( Rightarrow AC bot CD).

Ta có: (left{ begin{array}{l}DC bot AC,,left( {cmt} right)\DC bot SA,,left( {SA bot left( {ABCD} right)} right)end{array} right.)( Rightarrow DC bot left( {SAC} right)).

c) Trong (left( {SCD} right)) kẻ (KI//CD,,left( {I in SD} right)), khi đó ta có (angle left( {HK;CD} right) = angle left( {HK;KI} right)).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (SAB) ta có:

(begin{array}{l}AH = dfrac{{SA.AB}}{{sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}\ = dfrac{{a.a}}{{sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = dfrac{{asqrt 2 }}{2}end{array}).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (SAC) ta có:

(begin{array}{l}AK = dfrac{{SA.AC}}{{sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\ = dfrac{{a.asqrt 2 }}{{sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = dfrac{{asqrt 6 }}{3}end{array}).

Vì (AH bot left( {SBC} right),,left( {cmt} right)) ( Rightarrow AH bot HK Rightarrow Delta AHK) vuông tại (H)

(begin{array}{l} Rightarrow sin angle AKH = dfrac{{AH}}{{AK}}\ = dfrac{{asqrt 2 }}{2}:dfrac{{asqrt 6 }}{3} = dfrac{{sqrt 3 }}{2}\ Rightarrow angle AKH = {60^0}end{array})

Ta có:

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}KI//CD\CD bot left( {SAC} right),,left( {cmt} right)end{array} right. Rightarrow KI bot left( {SAC} right)\ Rightarrow KI bot AKend{array})

( Rightarrow angle AKI = {90^0}).

(begin{array}{l} Rightarrow angle HKI = angle AKH + angle AKI\ = {60^0} + {90^0} = {150^0} > {90^0}end{array}).

Vậy

(begin{array}{l}angle left( {HK;CD} right) = angle left( {HK;KI} right)\ = {180^0} – angle HKI = {180^0} – {150^0} = {30^0}end{array}).

Xem thêm đề kiểm tra Toán 11: Tại Đây

Xem thêm các đề kiểm tra các môn khác lớp 11: Tại Đây

Loigiaihay.com