TOÁN 12 bài 3: Lôgarit

Bài học với nội dung kiến thức về toán 12 bài 3 Lôgarit. Tradapan.net sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm lôgarit

  • Cho hai số dương a, b ( a khác 1). Số a thảo mãn đẳng thức aα=b được gọi là lôgarit cơ số a của b.
  • Ký hiệu: logab
α=logab<=>aα=b  a,b>0,a≠1

Chú ý: 

  • Không có lôgarit của số âm và số 0.

Tính chất

loga1=0

logaa=1

alogab=b

loga(aα)=α

II. Quy tắc tính Lôgarit

1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

  • Cho 3 số dương a,b1,b2 với a≠1, ta có:
loga(b1b2)=logab1+logab2
  • Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Ví dụ minh họa:

Tính: log3(9.27)

Áp dụng công thức, tính chất Lôgarit ta có: 

log3(9.27)=log39+log327=2+3=5

Chú ý:

  • Với n số dương, ta có: loga(b1.b2…bn)=logab1+logab2+..+logabn  với a,b1,b2,..,bn>0,a≠1.

2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

  • Cho 3 số dương a,b1,b2 với a≠1, ta có:
loga(b1b2)=logab1−logab2
  • Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
  • Đặc biệt: loga1b=−logab

3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

  • Cho 2 số dương a,b với a≠1, ta có:
logabα=αlogab
  • Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
  • Đặc biệt: logab√n=1nlogab

III. Đổi cơ số

Định lí 4

  • Cho 3 số dương a,b,c với a≠1,c≠1, ta có:
logab=logcblogca
  • Đặc biệt:  logab=1logba

                            logaαb=1αlogab

IV. Lôgarit thập phân.Lôgarit tự nhiên

1. Lôgarit thập phân

  • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
  • log10b thường được viết logb hoặc lgb.

2. Lôgarit tự nhiên

  • Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.
  • logeb còn được viết lnb.

1. Định nghĩa

    Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình lôgarit cơ bản

    • loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

    • loga f(x) = loga g(x) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

    * Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

    * Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

    * Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

    * Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

V.Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình: log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}.

Bài 2: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.

Bài 3: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}.

Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

B. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình lôgarit cơ bản

    • loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

    • loga f(x) = loga g(x) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Cơ sở của phương pháp mũ hoá

        loga f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ f(x) = ag(x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log2 (x+3)=1.

Hướng dẫn:

log2 (x+3) = 1 ⇔ x+3 = 2 ⇔ x = -1

Bài 2: Giải phương trình log(25x – 22x+1) = x.

Hướng dẫn:

log(25x-22x+1 )=x ⇔ 25x-22x+1=10x ⇔ 25x-2.4x=10x

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Giải phương trình log2 (9-2x )=3-x.

Hướng dẫn:

log2 (9-2x ) = 3-x ⇔ log2 (9-2x ) = log2 23-x ⇔ 9-2x=23-x ⇔ 9-2x=8/2x ⇔ 22x-9.2x+8=0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;3}.

Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

C. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình lôgarit cơ bản

    • logax = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

    • logaf(x)=logag(x) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Các bước giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f[logag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1).

    • Bước 1: Đặt t = logag(x) (*).

    • Bước 2: Tìm điều kiện củat (nếu có).

    • Bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

    •Bước 4: Thay vào (*) để tìm x.

3. Một số lưu ý quan trọng khi biến đổi

    1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

    2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

    3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

    4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log23 x – 4log3x + 3 = 0.

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Đặt log3x = t. Khi đó phương trình đã cho trở thành

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3;27}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {10; 100}.

Bài 3: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Điều kiện của phương trình là x > 0.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3√3; 3-√3 }

D.Giải đáp câu hỏi và một số bài tập

Bài tập 1: Trang 68- sgk giải tích 12

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) log218

b) log142

c) log33–√4

d) log0,50,125

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:

a)  log218

= log22−3=−3

Vậy log218=−3

b) log142

= log2−22

= −12log22=−12

Vậy log142=−12

c) log33–√4

= log3314

= 14log33=14

Vậy log33–√4=14

d) log0,50,125

= log0,5(0,53)

= 3log0,50,5=3

Vậy log0,50,125=3

Bài tập 2: Trang 68- sgk giải tích 12

Tính:

a) 4log23

b) 27log92

c) 9log3√2

d) 4log827

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:

a) 4log23

= 2log232

= 32=9

Vậy 4log23=9

b) 27log92

= 232=22–√

Vậy 27log92=22–√

c) 9log3√2

= 3–√log3√24

= 24=16

Vậy 9log3√2=16

d) 4log827

= 32=9

Vậy  4log827=9

Bài tập 3: Trang 68- sgk giải tích 12

Rút gọn biểu thức:

a) log36.log89.log62

b) logab2+loga2b4

Ta có:

a) log36.log89.log62

= log89.log36.log62

= log89.log32

= log32log89

= 2log323log32=23

Vậy log36.log89.log62=23

b) logab2+loga2b4

= 2loga.|b|+2loga|b|

= 4loga|b|

Vậy logab2+loga2b4=4loga|b|

Bài tập 4: Trang 68- sgk giải tích 12

So sánh các cặp số sau:

a) log35 và log74

b) log0,32 và log53

c) log210 và log530

Ta có:

a) Vì log33=1

=> log35>1  (1)

Tương tự: log77=1

=> log74<1  (2)

Từ (1),(2)  => log35>\log _{7}4$

b) Tương tự:

log0,30,3=1

=> log0,32>1   (1)

log55=1

=> log53<1  (2)

Từ (1),(2)  => log0,32>log53

c) Ta có: log210=log22.5=log22+log25=1+log25

Mặt khác: 2log25=5

                  22=4

=> 2log25>22

=> log25>2

=> log210>3   (*)

log530=log55.6=log55+log56=1+log56

Mà:  5log56=6

         52=25

=> 5log56<52

=> log56<2

=> log530<3  (**)

Từ (*),(**) =>  log210>log530

Bài tập 5: Trang 68- sgk giải tích 12

a) Cho a=log303, b=log305.

Hãy tính log301350 theo a, b.

b) Cho c=log153. Hãy tính log2515 theo c.

Bài tập 5: Trang 68- sgk giải tích 12

a) Cho a=log303, b=log305.

Hãy tính log301350 theo a, b.

b) Cho c=log153. Hãy tính log2515 theo c.

Áp dụng công thức Lôgarit , ta được:

a)  log301350=log3032.5.30=log3032+log305+log3030=2log303+log305+1=2a+b+1

b) log2515=log5215=12log53.5=12(log53+log55)

Mà theo bài ra: c=log153

<=> c=1log315=1log33.5=11+log35

=> log35=1c−1

=> log53=c1−c

=> log2515=12(c1−c+1)=12(1−c)

Phần trên,  Tradapan.net đã soạn đầy đủ nội dung toán 12 bài 3 Loogarit.Chúc các bạn ôn tập tốt.

Tài liệu hay tại đây:

TÀI LIỆU

#tradapan


Warning: A non-numeric value encountered in /home/otcwszhx/public_html/wp-content/themes/Newspaper/includes/wp_booster/td_block.php on line 353