Sau đây là phần lý thuyết TOÁN 12 Hình học Chương 2 Bài 2 : mặt cầu chúng ta cùng nhau tìm hiểu:
1. Định nghĩa mặt cầu:
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm OO cố định một khoảng không đổi r(r>0)r(r>0) được gọi là một mặt cầu tâm OO bán kính rr.
S(O;r)={M|OM=r}S(O;r)={M|OM=r}
* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.
* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
* Cho mặt cầu S(O;r)S(O;r) và điểm AA trong không gian.
– Nếu OA=rOA=r thì điểm AA nằm trên mặt cầu
– Nếu OA<rOA<r thì điểm AA nằm trong mặt cầu.
– Nếu OA>rOA>r thì điểm AA nằm ngoài mặt cầu.
2. Tính chất mặt cầu :
Nếu điểm AA ngoài mặt cầu S(O;r)S(O;r) thì:
– Qua AA có vô số tiếp tuyến với mặt càu.
– Độ dài các đoạn thẳng nối AA với các tiếp điểm đều bằng nhau.
– Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;r)S(O;r) tâm OO bán kính rr và mặt phẳng (P)(P); HH là hình chiếu vuông góc của OO lên mặt phẳng (P)(P). Khi đó h=OHh=OH là khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (P)(P). Khi đó h=OHh=OH là khoảng cách từ OO đến mặt phẳng (P)(P).
– Nếu h=rh=r thì (P)(P) tiếp xúc mặt cầu.
– Nếu h>rh>r thì (P)(P) không có điểm chung với mặt cầu.
– Nếu h<rh<r thì (P)(P) giao mặt cầu S(O;r)S(O;r) theo một đường tròn tâm HH, bán kính
r=√r2−h2r=r2−h2 nằm trên mặt phẳng (P)(P).
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Cho mặt cầu S(O;r)S(O;r) và đường thẳng Δ∆. Gọi HH là chân đường vuông góc hạ từ OO lên Δ∆, đặt h=OHh=OH. Thế thì:
– Khi h=rh=r ta có đường thẳng Δ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại HH.
– Khi h<rh<r: đường thẳng Δ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm A,BA,B mà độ dài AB=2√r2−h2AB=2r2−h2- Khi h>rh>r đường thẳng Δ∆ không cắt mặt cầu.5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầuMặt cầu bán kính rr có diện tích là S=4πr2S=4πr2.Khối cầu bán kính rr có thể tích là V=43πr3
5. Các khái niệm cơ bản
+ Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
+ Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
+ Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
6. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
– Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC’.
– Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3…An.A’1A’2A’3…A’n, trong đó có 2 đáy A1A2A3…An và A’1A’2A’3…A’n nội tiếp đường tròn (O) và (O’). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
– Tâm: I với I là trung điểm của OO’
– Bán kính: R = IA1 = IA2 = … = IAn
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
– Hình chóp S.ABC có:
– Hình chóp S.ABCD có:
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều S.ABC
– Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.
– Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.
– Bán kính:
⇒ Bán kính là:
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC) và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:
– Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại O.
– Trong mp(d,SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS…
– Tìm bán kính:
Ta có: MIOA là hình chữ nhật.
Xét ΔMAI vuông tại M có:
f/ Hình chóp khác.
– Dựng trục Δ của đáy.
– Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
– (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp
1. Phương pháp giải
a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).
trên đây Tradapan.net đã tổng hợp được nội dung Toán 12 Hình học chương 2 Bài 2: Mặt cầu
Tài liệu hay tại đây:
TÀI LIỆU#tradapan