TOÁN 12 CHƯƠNG III – Bài 1: Nguyên hàm

Bài học với nội dung kiến thức về Nguyên hàm. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Tradapan.net sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

I, Nguyên hàm và tính chất

a. Định nghĩa

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu (x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R.

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

b. Định lý

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫f(x)dx

Khi đó : ∫f(x)dx =F(x) + C , C  ∈ R.

c. Tính chất của nguyên hàm

∫f(x)dx = F(x) + C, C  ∈ R.

∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫(f(x) ± g(x)) =  ∫f(x)dx ±  ∫g(x)dx

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

II. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x)u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C

Hệ quả: ∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C(a≠0)∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C(a≠0)

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số u=u(x)u=u(x) và y=v(x)y=v(x) có đạo hàm liên tục trên KK thì ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx.

Chú ý: Viết gọn ∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu.

III. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Đổi biến dạng 1

    a. Định nghĩa.

    Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:

∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

    b. Phương pháp giải

    Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

    Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

    Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

1.2. Phương pháp đổi biến loại 2

    a. Định nghĩa:

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:

∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt

    b. Phương pháp chung

    Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

    Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

    Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

    c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

    a. Định lí

    Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx

    Hay ∫udv = uv – ∫vdu

    (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)

    b. Phương pháp chung

    Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f₁(x).f₂(x)dx

    Bước 2: Đặt: 

    Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v – ∫v.du

    c. Các dạng thường gặp

    Dạng 1

    Dạng 2

    Dạng 3

    Bằng phương pháp tương tự ta tính được  sau đó thay vào I.

IV Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài tập 1:Trang 100 – sgk giải tích 12

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) e−x và −e−x

b) sin2x và sin2x

c) (1−2x)2ex và (1−4x)e^x

Cách làm cho bạn:

a) [e−x]′=−e−x

=> e−x là nguyên hàm của −e−x

b) [sin2x]′=2sinxcosx=sin2x

=> sin2x là nguyên hàm của sin2x.

c) [(1−4x)ex]′=(1−4x)′ex+(1−4x)(ex)′=(1−2x)2ex

=> (1−4x)ex là nguyên hàm của (1−2x)2ex

Bài tập 2:Trang 100 – sgk giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) f(x)=x+x√+1x√3

b) f(x)=2x−1ex

c) f(x)=1sin2x.cos2x

d) f(x)=sin5x.cos3x

e) f(x)=tan2x

g) f(x)=e3−2x

h) f(x)=1(1+x)(1−2x)

Cách làm cho bạn:

a)  f(x)=x+x√+1x√3

Điều kiện: x>0.

<=> f(x)=x23+x16+x13

=> ∫f(x)dx=∫x23dx+∫x16dx+∫x13dx

b) f(x)=2x−1ex

=> ∫f(x)dx=∫2x−1exdx

<=> ∫f(x)dx=∫(2e)xdx−∫e−xdx

<=> ∫f(x)dx=2xex(ln2−1)+1ex+C

c) f(x)=1sin2x.cos2x

<=> f(x)=4sin22x

=> ∫f(x)dx=∫4sin22xdx=−2cot2x+C 

d) f(x)=sin5x.cos3x

<=> f(x)=12(sin8x+sin2x)

=> ∫f(x)dx=∫12(sin8x+sin2x)dx

<=> ∫f(x)dx=12∫sin8xdx+12∫sin2xdx

<=> ∫f(x)dx=−116cos8x−14cos2x+C

e) f(x)=tan2x

<=> f(x)=1cos2x−1

=> ∫f(x)dx=∫(1cos2x−1)dx

<=> ∫f(x)dx=tanx−x+C

g) f(x)=e3−2x

=> ∫f(x)dx=∫e3−2xdx

<=> ∫f(x)dx=−12e3−2x+C

h) f(x)=1(1+x)(1−2x)

<=> f(x)=1(3(1+x))+2(3(1−2x))

=> ∫f(x)dx=∫(13(1+x)+23(1−2x))dx

<=> $\int f(x)dx=\frac{1}{3}\ln\left | 1+x \right |-\frac{1}{3\ln\left | 1-2x \right |$

<=> ∫f(x)dx=13∣∣1+x1−2x∣∣+Cf

Phần trên,http://tradapan.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Soạn giải tích 12 bài 1: Nguyên hàm . Bài học nằm trong chuyên mục: Toán 12 Chương III Bài 1 Nguyên Hàm 12. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.