TOÁN 12 bài: Ôn tập chương 3: Nguyên hàm- Tích phân và Ứng dụng

dưới đây Tradapan.net đã tổng hợp đầy đủ kiến thức của toán 12 ôn tập chương 3 nguyên hàm tích phân và ứng dụng.

A. Tổng hợp kiến thức

I. Nguyên hàm

1. Các tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

(∫f(x)dx)′=f(x)∫f′(x)dx=f(x)+C

Tính chất 2

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

Tính chất 3

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

2. Bảng giá trị nguyên hàm cơ bản

3. Phương pháp tính nguyên hàm

• Phương pháp đổi biến số 
• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

II. Tích phân

1. Các tính chất 

Tính chất 1

∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx

Tính chất 2

∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx

Tính chất 3

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx

2. Phương pháp tính tích phân

• Phương pháp đổi biến số
• Phương pháp tính tích phân từng phần

III. Ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b][a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=bx=a;x=b, thì diện tích SS được cho bởi công thức:

S=∫ba|f(x)|dxS=∫ab|f(x)|dx             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x)f(x) trên đoạn [a,b][a,b]. Nếu f(x)f(x) không đổi dấu trên khoảng (c;d)⊂[a;b](c;d)⊂[a;b] thì :

∫dc|f(x)|dx=∣∣∫dcf(x)dx∣∣∫cd|f(x)|dx=|∫cdf(x)dx|

Chẳng hạn ta có:

∫ba|f(x)|dx=∣∣∫c1af(x)dx∣∣+∣∣∫c2c1f(x)dx∣∣∫ab|f(x)|dx=|∫ac1f(x)dx|+|∫c1c2f(x)dx|+∣∣∫c3c2f(x)dx∣∣+∣∣∫bc3f(x)dx∣∣+|∫c2c3f(x)dx|+|∫c3bf(x)dx| 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y= f₁(x) và y =f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a,x=bx=a,x=b thì diện tích SS được cho bởi công thức :

∫ba|f1(x)−f2(x)|dx∫ab|f1(x)−f2(x)|dx         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f₁(x)  – f₂(x) trên đoạn [a;b][a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b)(a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: f₁(x)  – f₂(x) = 0, tìm các nghiệm x_i ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

x₁ < x₂ < … < x_n.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

S=∫ab|f(x)|dx=∣∣∫x1af(x)dx∣∣+∣∣∫x2x1f(x)dx∣∣+…+∣∣∫bxnf(x)dx∣∣S=∫ab|f(x)|dx=|∫ax1f(x)dx|+|∫x1x2f(x)dx|+…+|∫xnbf(x)dx|

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng x=a,x=bx=a,x=b thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x₁, b được thay thế bởi x_n

• Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

S=∫ba|f(x)|dx

• Hình giới hạn bởi hai đường cong

S=∫ba|f1(x)−f2(x)|dx

2. Tính thể tích 

• Thể tích của vật thể

V=∫baS(x)dx

• Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

V=∫h0S(x)dx với S(x)=Bx2h2

• Thể tích khối tròn xoay

V=∏∫baf2(x)dx

B: Giải đáp câu hỏi và bài tập về nguyên hàm -tích phân và ứng dụng

Bài tập 1:Trang 126-sgk giải tích 12

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Cách làm cho bạn:

a) Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x thuộc K.

Định lý

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì:

• Với mỗi hằng số C, F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số trên f(x) trên K.
• G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho: G(x)=F(x)+C

b) 

Định lí 2

• Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

• Hay: ∫udv=uv−∫vdu  với v′(x)dx=dv,u′(x)dx=du

Ví dụ minh họa:

Tính: ∫xln(1+x)dx ( Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần )

Lời giải:

Đặt u=ln(1+x) , dv=xdx  

   => du=11−xdx ,  

        $v=\frac{x^{2}}{2}

Ta có: ∫xln(1+x)dx=x22ln(1+x)−∫x2dx2(x+1)

<=> ∫xln(1+x)dx=\frac{1}{2}(x^{2}-1)\ln(1-x)-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{2}+C$

Bài tập 2:Trang 126-sgk giải tích 12

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa

Cách làm cho bạn:

a) 

• Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
• F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

=> Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a -> b .
     Ký hiệu: ∫baf(x)dx với a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Công thức tổng quát

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)

b) 

Tính chất 1

∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx

Tính chất 2

∫ba(f(x)±g(x))dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx

Tính chất 3

∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx

Ví dụ minh họa:

Tính tích phân sau: ∫10x(1−x)5dx

Lời giải:

Đặt u=1−x=>du=−dx

=> x=1−u

x=0=>u=1

x=1=>u=0

=> ∫10x(1−x)5dx=−∫10(1−u)u5du=142

Phần trên, Tradapan.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Soạn giải tích 12 bài: Ôn tập chương 3 nguyên hàm – tích phân và ứng dụng của tích phân trong hình học . Bài học nằm trong chuyên mục: Soạn giải tích lớp 12.. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.

Tài tài liệu hay tại đây:

TÀI LIỆU

#tradapan