TOÁN 12: ÔN TẬP CHƯƠNG II: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm lôgarit

ôn tập chương 2 toán 12

Chương 2 với nội dung kiến thức về Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm lôgarit. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Tradapan,net sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập một cách chi tiết,cụ thể, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

I : LŨY THỪA

1. Định nghĩa lũy thừa và căn

    • Cho số thực b và số nguyên dương n (n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b .

    • Chú ý: – Với n lẻ và b ∈ R : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n√b .

    – Với n chắn:

        +) b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

        +) b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0.

        +) b > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là n√b, căn có giá trị âm kí hiệu là –n√b.

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn, trong đó m∈Z, n∈N∗. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

ar=amn=am−−−√n

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

  • Ta gọi giới hạn của dãy số arn là lũy thừa của a với số mũ α.
  • Ký hiệu: aα
aα=limn→+∞arn với α=limn→+∞rn

Chú ý: 1α=1,(α∈R)

2. Một số tính chất của lũy thừa

    • Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β ; Nếu ) < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β .

    • Với mọi 0 < a < b, ta có: am < bm ⇔ m > 0; am > bm ⇔ m < 0 .

• Chú ý: – Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

    – Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

    – Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

II : HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Định nghĩa: Hàm số y = xα với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

    • D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)’ = α.xα – 1.

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).

y = xα, α > 0y = xα, α < 0
a. Tập khảo sát: (0; +∝)a. Tập khảo sát: (0; +∝)
b. Sự biến thiên+ y’ = αxα – 1 > 0, ∀x > 0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải+ Giới hạn đặc biệt+ Tiệm cận: không cób. Sự biến thiên+ y’ = αxα – 1 < 0, ∀x > 0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải+ Giới hạn đặc biệt+ Tiệm cận: không có- Trục 0x là tiệm cận ngang- Trục 0y là tiệm cận đứng.
c. Bảng biến thiên Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảic. Bảng biến thiên Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    d. Đồ thị:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1)

    Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ

 III : LÔGARIT

1. Định nghĩa:

    Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab. Ta viết: α = logab ⇔ aα = b.

2. Các tính chất: Cho a, b > 0, a ≠ 1 ta có:

    – logaa = 1, loga1 = 0

    – alogab = b, loga(aα) = α

3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1 , ta có

    – loga(b1.b2) = logab1 + logab2

4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có

    – Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    – Đặc biệt : với a, b > 0, a ≠ 1 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a, b1, b2, a ≠ 1, với mọi α, ta có

    – logabα = αlogab

    – Đặc biệt: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 , ta có

    – Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    – Đặc biệt : Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải với α ≠ 0 .

        + Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

        + Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. Viết: log10b = log b = lg b

        + Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Viết: logeb = ln b.

 IV: HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Hàm số mũ: y = ax, (a > 0, a ≠ 1)

    1.1 Tập xác định: D = R

    1.2. Tập giá trị: T = (); +∝), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0

    1.3. Tính đơn điệu:

        + Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

        + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

    1.4. Đạo hàm:    (ax)’ = ax.ln a ⇒ (au)’ = u’.au.ln a    (ex)’ = ex ⇒ (eu)’ = eu.u’

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

 1.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Hàm số logarit: y = logax, (a > 0, a ≠ 1)

    2.1 Tập xác định: D = (0; +∝)

    2.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện.

    2.3. Tính đơn điệu:

        + Khi a > 1 thì y = logax đồng biến trên D khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).

        + Khi 0 < a < 1 thì y = logax nghịch biến trên D khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x).

    2.4 Đạo hàm:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    2.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

V :PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.

1.1. Phương trình mũ cơ bản ax = b (a > 0, a ≠ 1).

    ● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0 .

    ● Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0 .

1.2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

    af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải .

1.3. Đặt ẩn phụ

    f[ag(x)] = 0 ( 0 < a ≠ 1) ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    Ta thường gặp các dạng:

    ● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0

    ● m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, trong đó a.b = 1. Đặt t = af(x). t > 0, suy ra bf(x) = 1/t.

    ● m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt (a/b)f(x) = t > 0.

1.4. Logarit hóa

    ● Phương trình Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải .

 ● Phương trình af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).logab

    hoặc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x)

1.5. Giải bằng phương pháp đồ thị

    o Giải phương trình: ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (*) .

    o Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) . Khi đó ta thực hiện hai bước:

  – Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x) .

– Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a; b).

    o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

    o Tính chất 3. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u,v ∈ D.

1.7. Sử dụng đánh giá

    o Giải phương trình f(x) = g(x).

    o Nếu ta đánh giá được Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

2.1. Biến đổi, quy về cùng cơ số

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2.2. Đặt ẩn phụ

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2.3. Mũ hóa hai vế

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2.4. Phương pháp đồ thị

2.5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

VI : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1. Bất phương trình mũ:

    • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

    Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Tương tự với bất phương trình dạng: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ (a – 1)(M – N) > 0 .

    • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

        + Đưa về cùng cơ số.

        + Đặt ẩn phụ.

        + Sử dụng tính đơn điệu Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Bất phương trình lôgarit:

    • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: logaf(x) > b; logaf(x) ≥ b; logaf(x) < b; logaf(x) ≤ b

    Phương pháp giải bất phương trình lôgarit

    • Đưa về cùng cơ số

    – Nếu a > 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    – Nếu 0 < a < 1 thì logaf(x) > logag(x) ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Đặt ẩn phụ

    • Mũ hóa

Phần trên, Tradapan.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Toán 12 bài Ôn tập chương 2  . Bài học nằm trong chuyên mục: Toán 12 Ôn tập Chương II .Chúc các bạn học sinh ôn tập tốt chương 2 này.Mến chúc các bạn thành công!

Tài liệu hay tại đây:

TÀI LIỆU

#tradapan


Warning: A non-numeric value encountered in /home/otcwszhx/public_html/wp-content/themes/Newspaper/includes/wp_booster/td_block.php on line 353