TOÁN 12 CHƯƠNG III Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Sau đây là phần lý thuyết TOÁN 12 CHƯƠNG III Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học chúng ta cùng nhau tìm hiểu:

A. Tổng hợp kiến thức

I. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b][a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=bx=a;x=b, thì diện tích SS được cho bởi công thức:

S=∫ba|f(x)|dxS=∫ab|f(x)|dx             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x)f(x) trên đoạn [a,b][a,b]. Nếu f(x)f(x) không đổi dấu trên khoảng (c;d)⊂[a;b](c;d)⊂[a;b] thì :

∫dc|f(x)|dx=∣∣∫dcf(x)dx∣∣∫cd|f(x)|dx=|∫cdf(x)dx|

Chẳng hạn ta có:

∫ba|f(x)|dx=∣∣∫c1af(x)dx∣∣+∣∣∫c2c1f(x)dx∣∣∫ab|f(x)|dx=|∫ac1f(x)dx|+|∫c1c2f(x)dx|+∣∣∫c3c2f(x)dx∣∣+∣∣∫bc3f(x)dx∣∣+|∫c2c3f(x)dx|+|∫c3bf(x)dx| 

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y= f₁(x) và y =f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a,x=bx=a,x=b thì diện tích SS được cho bởi công thức :

∫ba|f1(x)−f2(x)|dx∫ab|f1(x)−f2(x)|dx         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f₁(x)  – f₂(x) trên đoạn [a;b][a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b)(a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: f₁(x)  – f₂(x) = 0, tìm các nghiệm x_i ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

x₁ < x₂ < … < x_n.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

S=∫ab|f(x)|dx=∣∣∫x1af(x)dx∣∣+∣∣∫x2x1f(x)dx∣∣+…+∣∣∫bxnf(x)dx∣∣S=∫ab|f(x)|dx=|∫ax1f(x)dx|+|∫x1x2f(x)dx|+…+|∫xnbf(x)dx|

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng x=a,x=bx=a,x=b thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x₁, b được thay thế bởi x_n.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f₁(x) = 0 hoặc y = f₂(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g₁(y), x = g₂(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:S=∫dc|g1(y)−g2(y)|dy

1. Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Công thức tổng quát

S=∫ba|f(x)|dx

2. Hình giới hạn bởi hai đường cong

Từ hình vẽ:

=> S=S1−S2=∫ba(f1(x)−f2(x))dx

Công thức tổng quát

S=∫ba|f1(x)−f2(x)|dx

Chú ý:

• Ta có thể chia nhỏ từng khoảng giá trị để tính tích phân, sau đó ghép chúng lại để được kết quả tích phan ban đầu.

S=∫ca|f1(x)−f2(x)|dx=∣∣∫ca(f1(x)−f2(x))dx∣∣

II. Tính thể tích 

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x=a,x=b(a<b)x=a,x=b(a<b). S(x)S(x) là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: V=∫baS(x)dxV=∫abS(x)dx (với S(x)S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b][a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) không âm và liên tục trên đoạn [a;b][a;b], trục OxOx và hai đường thẳng x=a,x=bx=a,x=b quay quanh trục OxOx, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  V_x của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:Vx=π∫ba[f(x)]2dx.

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x=g(y)x=g(y) không âm và liên tục trên đoạn [c;d][c;d], trục OyOy và hai đường thẳng y=c,y=dy=c,y=d quay quanh trục OyOy, ta được khối tròn xoay. Thể tích V_y của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:Vy=π∫dc[g(y)]2dy.Vy=π∫cd[g(y)]2dy.

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x=ax=a, x=bx=b và đồ thị hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục và 0 ≤  f₁(x) ≤ f₂(x) trên đoạn [a;b][a;b] quay quanh trục OxOx được cho bởi công thức:Vx=π∫ba[(f2(x))2−(f1(x))2]dxVx=π∫ab[(f2(x))2−(f1(x))2]dx

Tương tự, đổi vai trò xx và yy cho nhau, ta có công thức tính  V_y (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).

1. Thể tích của vật thể

Công thức tổng quát

V=∫baS(x)dx

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

• Với OI = h  ( chiều cao)
• B là diện tích đáy.

Ta có:

S(x)=Bx2h2

Công thức tổng quát

V=∫h0S(x)dx

III. Thể tích khối tròn xoay

Công thức tổng quát

V=∏∫baf2(x)dx

B :Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài tập 1:Trang 121-sgk giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y=x2, y=x+2   

b) y=ln|x|, y=1

c) y=(x–6)2, y=6x–x2

Bài tập 1:Trang 121-sgk giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y=x2, y=x+2   

b) y=ln|x|, y=1

c) y=(x–6)2, y=6x–x2

Phần trên, Tradapan.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học:toán 12 chương 3 bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học . Bài học nằm trong chuyên mục: Soạn giải tích lớp 12. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.chúc các bạn ôn tập tốt bài ứng dụng của tích phân trong hình học toán 12 chương 3 bài 3 này.

Tài tài liệu hay tại đây:

TÀI LIỆU

#tradapan