Tính đơn điệu của hàm số: Lý thuyết & phân dạng bài tập

Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số (tính tăng giảm) là một trong những tính chất quan trọng của hàm số. Xem ngay các định nghĩa, định lý về tính đơn điệu của hàm số trong bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc hơn trong việc khảo sát hàm số, thuộc chương trình toán lớp 12. Kiến thức đóng vai trò quan trọng trong các kì thì trên trường cũng như ôn thi THPT quốc gia.

Mục lục1.Bài học liên quan2.Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số3.Phân dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số4.Nguồn tài liệu về tính đơn điệu của hàm số [Google Drive]

Bài học liên quan

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

Thông thường để xác định tính đơn điệu của hàm số người ta thường tính đạo hàm của nó. Nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, trong trường hợp đạo hàm âm trên khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến. Kiến thức trên dựa vào các điểm lý thuyết sau:

1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁

b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ f(x₂).

2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .

b) Nếu f’(x)

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K .

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)

3. Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề rộng. Trong chủ đề này, các đề thi có thể khai thác được những câu hỏi mức vận dụng về tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì và cũng có thể khai thác được các câu hỏi khó về biện luận m thỏa mãn điều kiện cho trước. Dưới đây, chúng ta cùng tìm hiểu 7 dạng toán phổ biến nhất trong chuyên đề này. Nhưng trước hết bạn cần phải hiểu bản chất về tính đồng biến nghịch biến của hàm số:

Hàm số đồng biến nghịch biến khi nào?

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số bất kì

Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x)

+) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f’(x)

Quy tắc:

+) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f’(x).

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x³ – 3x² + 2

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

c. y = x³ + 2x

Hướng dẫn giải:

a. y = x³ – 3x² + 2.

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

Ta có: y’ = 3x² – 6x, cho y’ = 0 ⇒ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

  • Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞).
  • Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) ∪ (2;+∞)”

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

Ta có: y’ = -3x² + 6x – 3, cho y’ = 0 ⇒ -3x² + 6x – 3 = 0 ⇔ x = 1 (nghiệm kép)

⇒ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định R

c. y = x³ + 2x

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 3x² + 2, cho y’ = 0 ⇒ 3x² + 2 = 0 (vô nghiệm)

⇒ y’ > 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x⁴ – 2x² + 1

b. y = -x⁴ + x² – 2

c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1

Hướng dẫn giải:

a. y = x⁴ – 2x² + 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1), cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

  • Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞)
  • Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1)

b. y = -x⁴ + x² – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ 2x (-2x² + 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

– Hàm số đồng biến trên các khoảng:

– Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = x³ + 4x = x (x² + 4), cho y’ = 0 ⇒ x (x² + 4) = 0 ⇔ x = 0 (do x² + 4 vô nghiệm)

Bảng biến thiên:

Tính đơn điệu của hàm số bậc 3

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Dạng 2. Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

Phương pháp giải

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị “đi lên” hoặc “đi xuống”.

  • Khoảng mà đồ thị “đi lên”: hàm đồng biến;
  • Khoảng mà đồ thị “đi xuống”: hàm nghịch biến.

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f’(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:

  • Tìm nghiệm của f’(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
  • Xét dấu f’(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
  • Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (-∞;0)

C. (1;+∞)

D. (0;1)

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (-∞;-1)

Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải.

Tính

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad − cb > 0.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-6)

A. 2

B. 6

C. Vô số

D. 1

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = (-∞;-3m) ∪ (-3m; +∞)

Ta có

Hàm số đổng biến trên khoảng

Mà m nguyên nên m ∊ {1; 2}

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (6;+∞)

A. 0

B. 6

C. 3

D. Vô số

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D = ℝ{-3m};

Hàm số

nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi:

Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0}

Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên ℝ

Phương pháp giải

Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔

hoặc suy biến

Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔

hoặc suy biến

Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1. Ta có: y = – x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1. Ta có: y = -2×2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1.

TH3: m ≠ 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ.

⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ

Vì m ∊ ℤ nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x3 – mx2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có:

TXĐ: D = ℝ

y’ = -3×2 – 2mx + 4m + 9

Hàm số nghịch biến trên (-∞;+∞) khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞;+∞)

⇒ Có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0 với ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn.

Với

ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0.

Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-3; -2; -1; 0}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Dạng 5: Tìm m để hàm số lượng giác đơn điệu trên khoảng cho trước.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m

B. m ≤ 0

C. 1 ≤ m

D. m ≥ 2

Lời giải

Chọn A

Đặt t = tan x , vì x ∊

⇒ t ∊ {0; 1}

Xét hàm số

. Tập xác định: D = ℝ{m}

Ta có

Ta thấy hàm số t(x) = tan x đồng biến trên khoảng

. Nên để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: f’(t) > 0, ∀ t ∊ {0; 1}

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C. m ≤ 3

D. m

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: cos x ≠ m. Ta có:

Vì x ∊

⇒ sin x > 0, (cos x – m)2 > 0, ∀ x ∊ ; cos x ≠ m

Để hàm số nghịch biến trên khoảng

⇔ y’

Chú ý : Tập giá trị của hàm số y = cos x, ∀ x ∊

là (-1; 0)

Dạng 5. Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f’(x)

Phương pháp giải

» Loại 1: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f(x).

  • Tìm nghiệm của f’(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
  • Xét dấu f’(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
  • Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

» Loại 2: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f(u).

Tính y’ = u’ ‧ f’(u);

Giải phương trình f’(u) = 0

(Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm);

Lập bảng biến thiên của y = f(u), suy ra kết quả tương ứng.

» Loại 3: Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).

  • Tính y’ = g’(x);
  • Giải phương trình g’(x) = 0 (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f’(x). Loại này ra nhìn hình để suy ra nghiệm);
  • Lập bảng biến thiên của y = g(x), suy ra kết quả tương ứng.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2-x) đồng biến trên khoảng

A. (2;+∞)

B. (-2; 1)

C. (-∞; -2)

D. (1; 3)

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Ta thấy f’(x)

nên f(x) nghịch biến trên (1; 4) và (-∞; -1) suy ra g(x) = f(-x) đồng biến trên (-4; -1) và (1; +∞). Khi đó f (2 – x) đồng biến trên khoảng (-2; 1) và (3; +∞)

Cách 2:

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có f’(x)

Ta có (f (2 – x))’ = (2 – x)’. f’(2 – x) = – f’(2 – x)

Để hàm số y = f (2 – x) đồng biến thì (f (2 – x))’ > 0 ⇔ f’(2 – x)

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau:

Hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3; 4)

B. (1; 3)

C. (-∞; -3)

D. (4; 5)

Lời giải

Chọn D

Ta có y’ = f’(5 – 2x) = -2f’(5 – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng (4; 5)

Dạng 7. Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập ℝ

Phương pháp giải

» Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định ℝ

Đồng biến trên Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f’(x)

hoặc suy biến

Nghịch biến trên ℝ thì

hoặc suy biến

» Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Ta thường gặp hai trường hợp

Nếu phương trình y’ = 0 giải được nghiệm “đẹp”: Ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “xấu” : Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau

  • Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm (sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể).
  • Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách này xét sau).

» Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Giải phương trình y’ = 0, tìm nghiệm.

Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1. Cho hàm số với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 4

B. Vô số

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn D

D = ℝ {m}; Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’

Mà m ∊ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (10; +∞)?

A. Vô số

B. 4

C. 5

D. 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = ℝ {-5m}

Hàm số nghịch biến trên (10; +∞) khi và chỉ khi

Mà m ∊ ℤ nên m ∊ {-2; -1; 0; 1}

Nguồn tài liệu về tính đơn điệu của hàm số [Google Drive]

Bộ tài liệu hay nhất về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bao gồm: Lý thuyết, ví dụ và các bài tập mẫu được tuyển chọn chi tiết. Bạn nên xem kĩ tài liệu nào hay trước khi tải về và sử dụng nhé.

#1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan – Phùng Hoàng Em

Các dạng toán được đề cập trong tài liệu:

  • Dạng 1: Ứng dụng đạo hàm tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước
  • Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước
  • Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên R
  • Dạng 4: Tìm m để hàm số phân thức đơn điệu trên khoảng xác định
  • Dạng 5: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x)
  • Dạng 6: Biện luận đơn điệu hàm đa thức trên khoảng
  • Dạng 7: Biện luận đơn điệu của hàm phân thức

Tài liệu trình bày phương pháp giải và các ví dụ kèm theo.

Khảo sát hàm số và các bài toán liên quanTác giảPhùng Hoàng EmSố trang17Nội dungBài tập khảo sát hàm số

Bảng biến thiên

→ TẢI ĐẦY ĐỦ TÀI LIỆU XUỐNG

Trên đây là bài viết chi tiết về chủ đề tính đơn điệu của hàm số. Để thuần thục được dạng toán này, các bạn cần nắm vững các định lý, định nghĩ về tính đơn điệu, tính đạo hàm và quy tắc xét dấu cùng cách giải bất phương trình cơ bản.