Toán 12 bài 5: Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit

Bài học với nội dung kiến thức về Phương trình mũ, phương trình Lôgarit. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Hocthoi sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. Tổng hợp kiến thức

I. Phương trình mũ cơ bản

1. Khái niệm

• Dạng tổng quát: 

ax=b, a>0,a≠1

• Phương pháp giải:

Để giải phương trình mũ trên, ta áp dụng định nghĩa Lôgarit:

• b>0=>ax=b<=>x=logab
• b≤0 => Phương trình vô nghiệm.
• Đồ thị minh họa:

Tổng quát

2. Một số cách giải phương trình mũ cơ bản

• Đưa về cùng cơ số
• Đặt ẩn phụ
• Lôgarit hóa

II. Phương trình Lôgarit

1. Khái niệm

• Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit
• Dạng tổng quát:

logax=b, ( a>0,a≠1)

• Phương pháp giải:

Để giải phương trình lôgarit trên, ta áp dụng định nghĩa Lôgarit:

logax=b<=>x=ab

• Đồ thị minh họa:

Tổng quát

• Phương trình logax=b, ( a>0,a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x=ab với mọi b.

2. Một số cách giải phương trình lôgarit đơn giản

• Đưa về cùng cơ số
• Đặt ẩn phụ
• Mũ hóa

3. Tính chất của hàm số lôgarit y = log_ax (a>0,a≠1)(a>0,a≠1).

– Tập xác định: (0;+∞)(0;+∞).

– Đạo hàm ∀x∈(0;+∞),y′=1xlna∀x∈(0;+∞),y′=1xln⁡a.

– Chiều biến thiên:  

+) Nếu a>1a>1 thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu 0<a<10<a<1 thì hàm số luôn nghịch biến

– Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

– Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0)(1;0) và đi qua điểm (a;1)(a;1).

4. Chú ý 

– Nếu a>1a>1 thì lna>0ln⁡a>0, suy ra (ax)′>0∀x(ax)′>0∀x và (log_ax)^’ > 0, ∀x > 0; 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu 0<a<10<a<1 thì lna<0ln⁡a<0, (a^x)^’ < 0 và (log_ax)^’ < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

– Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

(ln|x|)′=1x,∀x≠0(ln⁡|x|)′=1x,∀x≠0 và (log_a|x|)^’ = 1xlna1xln⁡a, ∀x≠≠ 0.

B Giải đáp câu hỏi và bài tập

Bài tập 1: Trang 84 – sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) (0,3)3x−2=1

b) (15x=25

c) 2×2−3x+2=4

d) (0,5)x+7.(0,5)1−2x=2

bài làm:

a) (0,3)3x−2=1

<=> (0,3)3x−2=0,30

<=> 3x−2=0

<=> x=23

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=23.

b) (15x=25

<=> 5−x=52

<=> x=−2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=−2.

c) 2×2−3x+2=4

<=> 2×2−3x+2=22

<=> x2−3x+2=2

<=> x2−3x=0

<=> x=0 hoặc x=3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0 hoặc x=3.

d) (0,5)x+7.(0,5)1−2x=2

<=> (0,5)x+7+1−2x=2

<=> 128−x=2

<=> 2x−8=21

<=> x−8=1

<=> x=9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=9

Bài tập 2: Trang 84 – sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a)  32x−1+32x=108

b)  $2^{x+1}+ 2^{x-1} + 2^{x} = 28$

c)  64x–8x–56=0

d)  3.4x–2.6x=9x

Bài làm:

a)  32x−1+32x=108

<=> (13+1)32x=108

<=> 43.32x=108

<=> 32x=108.34

<=> 32x=81

<=> 9x=92

<=> x=2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2.

b)  $2^{x+1}+ 2^{x-1} + 2^{x} = 28$

<=> 2.2x+122x+2x=28

<=> 722x=28

<=> 2x=28.27=8

<=> 2x=23

<=> x=3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=3.

c)  64x–8x–56=0

<=> 82x−8x−56=0   (1)

Đặt 8x=a(a>0)

=> (1) <=> a2−a−56=0

=> a=8<=>8x=8

=> x=1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1.

d)  3.4x–2.6x=9x

<=> 3.4x6x−2.6x6x=9x6x

<=> 3(23)x−2=(32)x   (*)

Đặt (32)x=a,(a>0)

(*) => a2+2a−3=0

=> a=1<=>(32)x=1

=> x=0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0.

Bài tập 3: Trang 84 – sgk giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a)   log3(5x+3)=log3(7x+5)

b)   log(x–1)–log(2x−11)=log2

c)   log2(x−5)+log2(x+2)=3

d)   log(x2–6x+7)=log(x–30)

Bài làm :

a)   log3(5x+3)=log3(7x+5)

Đk: {5x+3>0=>x>−357x+5>0=>x>−57<=>x>−35

<=> 5x+3=7x+5

<=> 2x=2

<=> x=−1  ( loại vì x>−35)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b)   log(x–1)–log(2x−11)=log2

Đk: {x−1>0=>x>12x−11>0=>x>112<=>x>112

<=> x−12x−11=2

<=> x−1=4x−22

<=> 3x=21

<=> x=7     (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=7.

c)   log2(x−5)+log2(x+2)=3

Đk: {x−5>0=>x>5x+2>0=>x>−2<=>x>5

<=> log2(x−5)(x+2)=3

<=> (x−5)(x+2)=23

<=> x2−3x−18=0

<=> x=6   (t/m)  hoặc x=−3  ( loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=6.

d)   log(x2–6x+7)=log(x–3)

Đk: {x2–6x+7>0=>x>3+2–√x−3>0=>x>3<=>x>3+2–√

<=> x2–6x+7=x−3

<=> x2−7x+10=0

<=> x=5 (t/m) hoặc x=2(loại vì x>3+2–√)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=5.

Phần trên, Tradapan.net đã soạn đầy đủ lý thuyết và bài tập của bài học: Toán 12 bài 5: Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit. Bài học nằm trong chuyên mục Toán 12 . Phần trình bày do Nguyễn Linh chủ biên. Nếu có bài tập nào chưa rõ, có phần nào muốn hiểu rộng thêm, bạn đọc vui lòng comment bên dưới. Ban biên tập sẽ giải đáp giúp các bạn trong thời gian sớm nhất.